Metode Gauss dan Implementasinya di Matlab

                                 

Metode Gauss-Seidel

Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.

Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

Algoritma Iterasi Gauss-Seidel

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien n × n , b vektor konstanta n × 1 , dan X vektor n × 1 yang perlu di cari.

INPUT : n, A, b dan hampiran awal Y = (y1 y2 y3 ...yn)T, batas toleransi T dan maksimum iterasi N.

OUTPUT : X = (x1 x2 x3 ...xn)T atau pesan "gagal".

LANGKAH-LANGKAH :

1. Set penghitung iterasi k = 1

2. WHILE k <= N DO

(a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, hitung :

(b) Set X = (x1 x2 x3 ...xn)T

(c) IF ||X - Y|| < T THEN STOP

(d) Tambah penghitung iterasi, k = k + 1

(e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set yi = xi

(f) Set Y = (y1 y2 y3 ...yn)T

3. Tulis pesan "metode gagal setelah N iterasi"

4. STOP.

Implementasi dengan MATLAB

function [X1,g,H] = seidel(A,b,X0,T,N)

H = X0';

n = length(b);

X1 = X0 ;

for k=1:N,

for i=1:n,

S=b(i)-A(i,1:i-1)*X1(1:i-1)-A(i,i+1:n)*X0(i+1:n);

X1(i)=S/A(i,i);

end

g=abs(X1-X0);

err=norm(g);

relerr=err/(norm(X1)+eps);

X0=X1;

H=[H,X0'];

if(err<T)|(relerr<T),break,end

end

Contoh

Sebagai gambaran misalkan mencari penyelesaian SPL

10x1 - x2 +2x3=6

-x1+11x2-x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

Berikut pemakaian fungsi MATLAB seidel untuk penyelesaian soal di atas dan keluaran yang diperoleh :

>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]

A =

   10    -1     2     0

   -1    11    -1     3

    2    -1    10    -1

    0     3    -1     8

>> b=[6;25;-11;15]

b =

    6

   25

  -11

   15

>> X0=[0;0;0;0]

X0 =

    0

    0

    0

    0

>> T=0.0001;N=25;

>> [X,g,H]=seidel(A,b,X0,T,N)

X =

   1.0000

   2.0000

  -1.0000

   1.0000

g =

 1.0e-004 *

   0.8292

   0.2017

   0.2840

   0.1111

H =

 Columns 1 through 5

        0         0         0         0    0.6000

 Columns 6 through 10

   2.3273   -0.9873    0.8789    1.0302    2.0369

 Columns 11 through 15

  -1.0145    0.9843    1.0066    2.0036   -1.0025

 Columns 16 through 20

   0.9984    1.0009    2.0003   -1.0003    0.9998

 Columns 21 through 25

   1.0001    2.0000   -1.0000    1.0000    1.0000

 Columns 26 through 28

   2.0       -1.0000    1.0000

Proses iterasi dapat diulangi sampai tingkat keakuratan yang diinginkan tercapai, penyelesaian eksak contoh di atas adalah (1, 2, -1, 1).

Percabangan Dan Perulangan Di Matlab

Secara umum, di semua bahasa pemrograman termasuk matlab, terdapat dua macam kendali aliran, yaitu percabangan dan perulangan.

Percabangan

Aliran Logika

Aliran logika pada kendali pencabangan digambarkan dengan flowchart berikut :

 

 Pelaksanaan eksekusi pada pernyataan X atau Y tergantung pada hasil pengujian syarat. Jika syarat terpenuhi maka eksekusi berikutnya adalah pernyataan X, tetapi jika syarat tidak terpenuhi maka eksekusi selanjutnya adalah pernyataan Y. Kadang–kadang pernyataan Y tidak diperlukan, yang berarti pengujian syarat dilakukan untuk menentukan apakah pernyataan X perlu dieksekusi atau tidak.

Operator Relasi dan Logika

Untuk menyatakan syarat pemilihan biasanya digunakan perbandingan antara dua buah nilai. Perbandingan dilakukan dengan menggunakan operator relasi. Berikut ini beberapa operator relasi :

 

Nilai benar pada MATLAB dinyatakan dengan nilai 1 dan sebaliknya nilai salah dinyatakan dengan nilai 0. Hasil operasi 0 atau 1 dapat digunakan sebagai syarat pemilihan. Sebaliknya, hasil perbandingan dapat pula digunakan dalam operasi matematis. Operator logika menyediakan cara untuk mengevaluasi ekspresi logika. Operator tersebut adalah

Untuk memastikan urutan operasi maka tiap syarat ditulis dengan menggunakan tanda kurung “(  )“. Hal ini terutama apabila syarat tebentuk dari beberapa syarat yang dievaluasi menggunakan operator logika. Contoh syarat yang tersusun dari beberapa syarat.

 

Pernyataan If, else, dan elseif

Apabila flowchart dinyatakan dengan pernyataan ini, maka :

 

 Pernyataan Z pada kasus ketiga berguna apabila tidak ada syarat pada pernyataan lain.

Perintah Switch….case

Sering kali pengujian syarat bukan nilai benar (yang berarti syarat tidak terpenuhi) atau salah (yang berarti syarat tidak terpenuhi). Jika syarat berupa operasi matematis, maka yang dievaluasi sebagai syarat adalah kesamaan hasil dengan konstanta yang telah didefinisikan sebelumnya. Pada kasus ini, penggunaan pernyataan if…else…end kurang efektif. Untuk itu telah tersedia pernyataan switch…case…otherwise sebagai berikut :

switch syarat

    case konstanta 1

        pernyataan 1

case konstanta 2

        pernyataan 2

      ...

    otherwise

     pernyataan N

end;

Perulangan

Perulangan atau iterasi adalah bentuk kendali aliran untuk melakukan pekerjaan berulang kali menggunakan suatu nilai yang berfungsi sebagai pencacah atau counter. Nilai pencacah dinaikkan atau diturunkan setiap kali satu pekerjaan dilakukan. Pada operasi yang melibatkan vektor atau matriks, pencacah biasanya juga berfungsi sebagai indeks, yang menunjukkan posisi elemen vektor atau matriks yang dioperasikan. Terdapat dua macam perulangan yaitu perulangan berbatas (for) dan perulangan bersyarat (while).

Perulangan berbatas (for)

Perlangan berbatas menggunakan pernyataan for sebagai berikut :

 

 Perulangan akan dilakukan mulai dari pencacah sama dengan nilai awal. Setelah satu operasi selesai dilakukan, nilai pencacah diubah sebesar nilai perubahan. Jika nilai pencacah hasil pengubahan telah melebihi nilai akhir, maka perulangan dihentikan.

            Nilai perubahan dapat positif (naik) aau negatif (turun). Pada perubahan positif, akhir harus lebih besar dari awal, sedangkan pada perubahan negatif, nilai akhir harus lebih kecil dari nilai awal. Nilai perubahan bisa tidak dinyatakan, yang berarti perulangan adalah perulangan positif dengan kenaikan 1, sehingga pernyataan menjadi :

 

Kadangkala, syarat nilai akhir perulangan tidak bisa ditentukan dengan pasti. Untuk itu, digunakan perulangan bersyarat. Jika nilai pencacah memenuhi syarat perulangan, maka perulangan dilanjutkan. Jika nilai pencacah tidak memenuhi syarat perulangan, maka perulangan dihentikan.

Perulangan bersyarat menggunakan while sebagai berikut :

 

  Inisialisasi biasanya merupakan penetapan nilai awal dari pencacah. Nilai tersebut akan diuji pada syarat perulangan. Syarat perulangan sama sebagaimana pada pencabangan. Padanya berlaku pula operator relasi dan logika.

               Aliran logika perulangan sebagai berikut :

 

Pada pernyataan for nilai pencacah diubah secara otomatis. Berbeda dari hal tersebut pada pernyataan while, nilai pengubahan pencacah harus ditangani sendiri dalam pernyataan operasi.